Ejercicios PSU Matemática: Ecuaciones con valor absoluto

Como ya sabemos, en el universo matemático existen números positivos y negativos. El valor absoluto corresponde a la distancia de un número en la recta (ya sea positivo o negativo) con su origen (cero). Es decir, es el número sin importar si sea positivo o negativo.

El valor absoluto se representa con dos barras: |a|. Así, el valor absoluto de |-a| es a, y el de |a| también es a. Sin embargo, si el símbolo está fuera de las barras, el símbolo no se somete al valor absoluto. Por ejemplo, el valor absoluto -|a| sigue siendo -a, ya que el valor absoluto solo se aplica sobre a.

Las ecuaciones con valor absoluto, por lo tanto, no tienen una solución fija, sino que tienen dos posibles soluciones.

Revisemos un ejercicio que apareció en la PSU y que solo el 12% de los postulantes respondió correctamente. Veremos que en realidad es sencillo:

¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera con respecto al conjunto solución de la ecuación |3x - 2| = a?

A) Tiene dos soluciones reales positivas y distintas.

B) Tiene una solución real positiva y la otra real negativa.

C) Tiene sólo una solución real positiva.

D) Tiene sólo una solución real negativa.

E) No tiene solución en los números reales.

Para resolver esta pregunta, es básico saber que, como es un valor absoluto, x = a o x = -a, debido a que |x| = a. De esta forma, al ser |3x - 2| = a, al sacar los símbolos de valor absoluto, tenemos que 3x - 2 = 1 o 3x - 2 = -1.

Pasando a resolver ambas ecuaciones, tenemos que:

a.

3x - 2 = 1

3x = 1 + 2

3x = 3

x = 1

b.

3x - 2 = -1

3x = -1 + 2

3x = 1

x = 1/3

Estas son las dos soluciones reales que tiene la ecuación, siendo ambas reales positivas y distintas. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Para seguir practicando para la PSU de Matemáticas, revisa más ejercicios aquí.

Imagen vía Texas A&M University-Commerce Marketing Communications Photography