Preguntas PSU Matemática: Cuerpos creados al hacer girar figuras planas

En geometría, al hacer girar figuras planas (bidimensionales) sobre su propio eje, podemos generar cuerpos geométricos (tridimensionales). A estos cuerpos, formados por una figura plana que gira indeterminadamente, se les llama cuerpos de revolución. Éstos tienen algunas características:

- Se forman por una o más figuras planas, que giran indeterminadamente sobre un eje determinado (recta alrededor de la cual gira la figura plana para general el cuerpo de revolución).

- Generatriz: Son los límites exteriores de la figura plana. Todos se mueven, el único límite de la figura que se mantiene inmóvil es el eje.

- Las caras del cuerpo de revolución son curvas, también se les llaman "cuerpos circulares".

- Ejemplo: Cono, esfera y cilindro.

Veremos qué cuerpos se forman al hacer girar determinadas figuras:

- Media circunferencia: Al girar media circunferencia sobre su diámetro generamos una esfera. Asimismo, si giramos un cuarto de circunferencia sobre su radio, tenemos media esfera.

- Rectángulo y cuadrado: Al girarlos sobre un eje obtenemos un cilindro, el que tiene dos bases paralelas con forma de círculo y una cara lateral curva.

- Triángulo rectángulo: Al hacerlo girar alrededor de su eje que contiene el ángulo recto, se genera un cono, el que tiene una sola base en forma de círculo y una cara lateral curva que finaliza en un punto llamado vértice o cúspide.

Se pueden obtener otros cuerpos como un cilindro oblicuo o un tronco de cono a partir de otras figuras, pero con las nombradas se puede realizar el razonamiento para llegar a ellos.

Ahora, pasaremos a revisar un ejercicio PSU sobre el contenido:

La figura 16 está formada por el triángulo ADC, rectángulo en D y un cuarto de círculo de centro D. Si la figura 16 se hace girar indefinidamente en torno al segmento AB, entonces el cuerpo que se genera está formado por:

A) un cono y una esfera.

B) un cono y una media esfera.

C) una pirámide y una media esfera.

D) una pirámide y un cuarto de esfera.

E) un cono y un cuarto de esfera.

La clave correcta para esta pregunta es B), un cono y una media esfera. ¿Por qué? Pasaremos a verlo:

Para resolver esta pregunta, el alumno debe ser capaz de determinar los cuerpos que se forman al hacer girar en forma indefinida figuras planas, en este caso, los cuerpos que se generan al hacer girar una figura completa por dos figura planas: un triángulo rectángulo en D y un cuarto de círculo de centro D.

La figura compuesta se hace girar sobre su eje, que es la recta AB, por lo que el triángulo rectángulo se haría girar sobre la recta AD y el cuarto de círculo sobre la recta DB. Al girarse el triángulo rectángulo en D sobre la recta AD, se obtiene un cono de radio basal CD y altura AD. Por su lado, al hacer girar un cuarto de círculo de centro D sobre la recta DE, podemos obtener una media esfera.

De esta forma llegamos a la respuesta correcta: B). Este ejercicio, cuando fue aplicado en la PSU, tuvo solo un 38% de respuestas correctas.

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Imagen CC the kirbster