La función cuadrática, es representada gráficamente por la famosa parábola. Esta figura tiene la particularidad de desarrollar simetrías que veremos aplicadas en el siguiente ejercicio de la PSU de Matemática.
En la figura se muestran dos parábolas de tal manera que una es la simétrica de la otra con respecto al eje x. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
Del enunciado sabemos que las funciones f y g son simétricas respecto al eje x. Esto nos dice que todos los puntos simétricos de la parábola de f, con respecto al eje x, pertenecen al mismo tiempo a la parábola asociada a la función g. Matemáticamente, esto es equivalente a considerar:
g(x)= -f(x)
Tenemos que g(0)=c, por lo que, el punto (0,c) pertenece a la parábola de la función g. Como (0,-c) es simétrico a (0,c) con respecto al eje x, entonces éste pertenece a la gráfica de f. Entonces, f(0)=-c. Evaluando x=0 en f, tenemos que: f(0)=p . Con esto tenemos que p=-c, es decir p+c=0. Con lo que concluimos que la opción I) es verdadera.
Recordemos que la gráfica de la función cuadrática representada por:
Es una parábola cuyas ramas se abren hacia arriba si A>0, mientras que si A<0, las ramas se abren hacia abajo. Entonces, como las ramas de g se abren hacia arriba y las de f hacia abajo, tenemos que a>0 y m<0. Por lo tanto, la afirmación II) es falsa.
Por último, como g(x)=-f(x), tenemos que g(-1)=-f(-1). Por lo que la afirmación III) es verdadera.
Por lo tanto, la opción correcta es la alternativa C).
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Imagen CC Wikimedia