Ejercicios resueltos: Planteamiento de ecuaciones con geometría

A continuación, dos ejercicios tipo PSU que te servirán como base para expresar y calcular ecuaciones.

a) El siguiente ejercicio busca que puedas plantear una ecuación a partir de datos geométricos y despejar una de las variables de ésta misma.

- Primero, debes recordar un par de propiedades de los rectángulos y cuadrados:

Todos los lados de un cuadrado tienen igual magnitud (i)

En un rectángulo las aristas que están de frente son de igual magnitud entre si (ii)

- El perímetro de un polígono es igual a la suma de todos sus lados.

- Como el enunciado lo dice, tanto el cuadrado ABCD y el rectángulo PQRS tiene igual perímetro, con lo que ya podemos plantear una igualdad:

Perímetro ABCD = Perímetro PQRS (iii)

- Ahora, debemos expresar matemáticamente cada uno de éstos perímetros:

Perímetro cuadrado ABCD = 4x cm, por (i)

Como muestra el enunciado y por (ii) se tiene que el lado PQ es igual a SR, del mismo modo los lados SP y RQ son iguales entre si. Por lo tanto:

Perímetro PQRS = 2(100+4p) + 2*120 cm

- Luego, reemplazando éstos perímetro en la igualdad planteada más arriba tenemos:

2(100+4p) + 2*120 = 4x y, desarrollando un poco obtenemos

400 + 8p + 240 = 4x

- Como el ejercicio nos pide calcular p en función de x, despejamos p:

8p = 4x - 400 - 240 /sumamos -400 + -240

8p = 4x - 440 /dividimos la ecuación por 8

p = 4x/8 - 55 /simplificamos 4/8 a 1/2

p = x/2 - 55 /restamos x/2 - 55

p = (x - 110)/2

Observación: se dice que "p está en función de x" pues p cambia su valor al variar x.

- Finalmente tenemos que la alternativa correcta es A)

b) Al igual que el ejercicio anterior, éste busca que puedas plantear una ecuación utilizando datos desde la geometría.

- Debemos plantear una ecuación para "ABCD tiene igual perímetro que PQRS", para esto debemos recordar las propiedades de los rectángulos y cuadrados mencionadas en el desarrollo del ejercicio anterior, pues ABCD es un cuadrado y PQRS es un rectángulo.

- Con lo anterior, podemos expresar matemáticamente los perímetros de éstos polígonos:

Perímetro ABCD = 4x cm

Perímetro PQRS = 2(100+4p) + 2*120 cm

- Luego, debemos establecer las igualdad pedida "ABCD tiene igual perímetro que PQRS":

4x = 2(100+4p) + 2*120

- Finalmente factorizampos el lado derecho de nuestra ecuación por 2:

4x = 2(100+4p) + 2*120 /factorizamos por 2

4x = 2(100 + 4p + 120) <=> 4x = 2(120 + 100 + 4p)

- Por lo tanto, la alternativa corriente es A).

Si te gustan las matemáticas y quieres estudiar una ingeniería, aquí te dejo algunas alternativas.

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Espero que estos dos ejercicios te hayan ayudado.

Imagen CC CarbonNYC [in SF!]