Ejercicios PSU Matemática: probabilidad condicional

Cuando un evento depende de otro, es decir, la ocurrencia de uno influye en que pueda suceder un segundo, se habla de probabilidad condicional. En términos simples, un ejemplo de ello es la probabilidad de que un grupo de alumnos alcance a estudiar todo en un día, considerando que dos de sus integrantes llegaron tarde.

Pero revisemos un caso más complejo, tipo PSU:

Si P es una función de probabilidad en un experimento aleatorio donde se definen dos sucesos, A y B, con P(A) ≠ 0 y P(B) ≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A/B) = 0.

II) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(B/A) = P(B).

III) Si A y B son independientes, entonces P(A/B) = P(B/A).

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

Para resolver esta pregunta, primero necesitas comprender la definición de la probabilidad condicional, la cual indica que la probabilidad de que ocurra un suceso A, dado que ocurrió uno B, está dado por P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B), con P(B) ≠ 0.

Además, debes saber que los sucesos A y B, son mutuamente excluyentes si no pueden suceder simultáneamente y por lo tanto, su intersección es vacía. Por otra parte, si A y B son independientes, la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro, es decir, P(A/B) = P(A), pues P(A ∩ B) = P(A)*P(B).

Aclarado estos puntos, analicemos cuál de las tres afirmaciones es la verdadera:

En I) se indica que A y B son sucesos mutuamente excluyentes, es decir, P(A ∩ B) = 0. Por lo tanto, si consideramos que P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B), tenemos que P(A/B) = 0/P(B) = 0, ya que P(B) ≠ 0. Luego la afirmación en I) es verdadera.

Ahora, de manera similar a lo desarrollado en I) tenemos que P(B/A) = P(B ∩ A)/P(A) = 0/P(A) = 0, pues P(A) ≠ 0. Ello convierte a la afirmación II) en falsa.

En tanto, según III) A y B son eventos independientes, o sea, P(A/B) = P(A), pues B no influye en A y P(B/A) = P(B), ya que A no influye en B. Ahora, como P(A) y P(B) no necesariamente son iguales, P(A/B) y P(B/A) no siempre son iguales. Con ello podemos concluir que la afirmación en III) también es falsa.

Por último, como solo lo expuesto en I) es verdadero, se tiene que la clave correcta es A).

Recuerda que la probabilidad condicional es materia de 3º medio y que la comprensión es la habilidad cognitiva que prima en este tipo de ítem, perteneciente al eje temático Datos y Azar.

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Imagen CC, vía US Department of Education.