Preguntas PSU Matemática: recta en coordenadas cartesianas

Para ejercicios como el que analizaremos, el DEMRE detalla que el objetivo principal es establecer la relación entre la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones a que dan origen.

Veamos, entonces, cómo podemos resolver lo siguiente:

En la figura 8 se muestra la representación gráfica de cuatro sistemas de ecuaciones. ¿Cuál de los siguientes sistemas NO ha sido representado en la figura?

A) x = 1; y = x

B) x = 1; y = 1

C) y = -x + 2; y = ^x/₂ + ¹/₂

D) 2y - x = 1; y = x

E) y = ^x/₂ + ¹/₂; 2y - x = 1

Para comenzar es necesario que determines el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que no se encuentra representado en los cuatro gráficos anteriores, interpretando las posiciones relativas de rectas en el plano cartesiano.

Así, a partir de lo expuesto en A), identificarás que el gráfico de la recta de ecuación x = 1 es una recta paralela al eje y, que pasa por el punto (1, 0) y el gráfico de la recta de ecuación y = x es la recta que pasa por todos los puntos de la forma (p, p), con p un número real, en particular pasa por (0, 0) y (1, 1). Entonces, el gráfico de este sistema es:

Por su parte, en el sistema detallado en B) se tiene la recta de ecuación x = 1, la cual es paralela al eje y, que pasa por el punto (1, 0) y está la recta de ecuación y = 1, que es paralela al eje x y que pasa por el punto (0, 1). De ese modo, la gráfica es:

En cuanto a la alternativa C), lo primero es buscar el punto de intersección de las rectas: y = -x + 2 ; y = ^x/₂ + ¹/₂, resolviendo el sistema por algún método, por ejemplo el de igualación, llegando a que -x + 2 = ^x/₂ + ¹/₂, donde x = 1 y reemplazando este valor en una de las dos ecuaciones se obtiene que y = 1, luego el punto de intersección de las rectas es (1, 1). Además, si se identifica donde intersectan al eje x y al eje y cada una de las rectas, se tiene que la recta de ecuación y = -x + 2 los intersecta en los puntos (0, 2) y (2, 0) y la recta de ecuación y = 2 x + ¹/₂ lo hace en los puntos (0, ¹/₂) y (-1, 0). Por lo tanto, el gráfico de este sistema es:

Ahora en D), ya se determinó que la gráfica de la recta de ecuación y = x es la recta que pasa por todos los puntos de la forma (p, p), con p un número real, en particular pasa por (0, 0) y (1, 1). Además, la gráfica de 2y - x = 1 pasa por los puntos (0, ¹/₂) y por el punto (-1, 0), pero no se encuentra la representación de estas dos rectas en un mismo sistema de ejes coordenados en la figura dada.

Por último, en E) tenemos las ecuaciones de rectas y = ^x/₂ + ¹/₂; 2y - x = 1, si se considera la ecuación y = ^x/₂ + ¹/₂ que es equivalente a 2y = x + 1, de donde se obtiene 2y - x = 1. Por lo tanto, ambas ecuaciones dadas en el sistema son iguales, por lo cual las gráficas de ambas rectas son coincidentes, como se observa a continuación:

En síntesis, la clave correcta es la opción D).

Y para seguir en el mundo cartesiano, en este artículo podrás analizar un ejercicio desde la geometría y el álgebra. Además, si ya empezaste a preparar tu PSU de Matemática, no olvides que en nuestro sitio hay una serie de ejercicios a tu disponibilidad.

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