Preguntas PSU Matemática: representación de números racionales en la recta numérica

Este contenido requiere de análisis, síntesis y evaluación. Como sabes los números racionales son todos aquellos de la forma a/b, donde “a” y “b” son números enteros y “b” es distinto de cero. Revisemos el siguiente ejercicio PSU.

Si a, b y c son números negativos tales que 1/(a-1) < 1/(b-1) < 1/(c-1), ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?

I) 1/(a-1)² < 1/(b-1)² < 1/(c-1)²

II) b-1/(a-1)< 1 < b-1/(c-1)

III) c < b < a

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

Para resolver este ejercicio es necesario que analices la veracidad de las relaciones dadas en I), II) y III), a través de la formulación de estrategias para comparar números racionales.

De ese modo, tenemos que lo expuesto en I) no se cumple, ya que por ejemplo si (a-1) = -4, (b-1) = -5 y (c-1) = -6, al reemplazar estos valores en la expresión entregada obtenemos que 1/-4 < 1/-5 < 1/-6 < 0, pero al elevar al cuadrado el denominador de estas expresiones se llega a 1/16 > 1/25 > 1/36, con el sentido de orden distinto al que vemos en I).

Siguiendo con el análisis, también vemos que la relación presente en II) es falsa, ya que si suponemos que (a-1) = -4, (b-1) = -8 y (c-1) = -16; se tiene 1/-4 < 1/-8 < 1/-16 <0. Ahora si se multiplica por -8 cada una de las fracciones obtenemos -8/-4, -8/-8 y -8/-16, que al simplificarlas se obtiene 2, 1 y 1/2, luego al ordenarlas resulta 2 > 1 > 1/2, relación de orden distinta a la que vemos en II).

Por último, en III) debemos demostrar que c < b < a, para lo cual, se tiene que 1/(a-1) < 1/(b-1) < 1/(c-1) < 0, de donde se llega a la relación 1/(1-a) > 1/(1-b) > 1/(1-c) > 0, de esta relación se obtiene 1-a < 1-b < 1-c, que es equivalente a la desigualdad -a < -b < -c, luego al multiplicar por -1 los términos de esta desigualdad obtenemos que a > b > c, por lo que lo expuesto en III) es verdadero. Es decir, la respuesta correcta es C.

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Imagen CC Wikimedia Commons