Preguntas PSU Matemática: parábola en coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas nos permiten definir la posición de uno o más puntos en un gráfico o plano. Pero estos puntos pueden asociarse a una parábola, tal como lo veremos en el siguiente ejercicio PSU.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a las funciones de la forma f(x) = x² - p, con dominio los números reales?

I) Si p > 0, entonces la gráfica de f intersecta al eje x en un solo punto.

II) Si p < 0, entonces la gráfica de f no intersecta al eje x.

III) Si p < 0, entonces la ordenada del punto donde la gráfica de f intersecta al eje y es positiva.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

En este caso, es necesario que analices la gráfica de la función dada en el enunciado, f(x) = x² - p, para los distintos valores que puede tomar p. De ese modo, si p > 0, entonces -p < 0.

Luego la gráfica de f es la parábola asociada a g(x) = x² trasladada verticalmente hacia abajo en p unidades, como lo apreciamos en la figura (1).

Y si p < 0, entonces -p > 0, lo cual implica que la gráfica de f corresponde a la gráfica de g trasladada verticalmente hacia arriba en -p unidades, tal como lo vemos en la figura (2).

Si p > 0, entonces de la figura (1) tenemos que la gráfica de f intersecta al eje x en dos puntos, por lo que lo planteado en I) es falso.

Por otra parte, si p < 0, entonces de la figura (2) se obtiene que la gráfica de f no intersecta el eje x, lo que significa que lo expuesto en II) es verdadero. Además, en esta figura observamos que la parábola asociada a f intersecta al eje y en el punto (0, -p), donde -p > 0. En consecuencia, la afirmación III) también es verdadera.

O sea, la respuesta correcta es D).

Recuerda que en este link puedes analizar más ejercicios PSU y acá encontrarás algunas sugerencias de estudio para tu prueba.

Imagen CC Wikimedia Commons