Preguntas PSU de Matemáticas: propiedades de las potencias de base racional

Una potencia de base racional es aquella cuya base corresponde a una fracción, es decir, a un número racional, tal como lo veremos en el siguiente ejercicio del Demre.

Sean a y b números racionales distintos de cero y sean m, n y k números enteros. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría ser FALSA?

A) (-a)³ = -a³

B) (a ÷ b)⁰ = (b ÷ a)⁰

C) (-a)^-2n = 1 ÷ a²ⁿ

D) (aⁿ)^{k + m} = a^nk + a^nm

E) (a^-m • b)^-n = a^mn ÷ bⁿ

Revisemos cada alternativa.

En la opción A) tenemos (-a)³ = (-a) (-a) (-a), lo que al aplicar la ley de los signos nos da como resultado -a³. Por lo tanto, la igualdad es verdadera.

En el caso de B), lo primero es considerar que las potencias de base distinta de cero y exponente cero, son equivalentes a 1, de ese modo:

(a ÷ b)⁰ = 1 = (b ÷ a)⁰. Entonces esta relación también es verdadera.

Lo mismo ocurre con C), ya que si aplicamos la propiedad p^-m = 1 ÷ p^m y recordamos que una potencia elevada a un número par es siempre positiva, nos queda que:

(-a)^-2n = 1 ÷ (-a)²ⁿ = 1 ÷ (-1 • a)²ⁿ = 1 ÷ a²ⁿ.

Por otra parte, en E) tenemos que (a^-m • b)^-n = a^-m•-n • b^-n = a^mn • b^-n = a^mn ÷ bⁿ, lo cual también transforma a esta opción en verdadera.

Finalmente, en la letra D) se deben aplicar las propiedades (p^r)^s = p^rs y p^r+s = p^r • p^s. Tras lo que nos queda:

(aⁿ)^{k + m} = a^{n (k + m)} = a^{nk + nm} = a^nk • a^nm, lo cual no siempre es igual a (a^nk + a^nm), pues depende de los valores que tengan las variables. En consecuencia, la opción D) podría ser falsa, transformándose en la alternativa clave.

¿Es lo que habías contestado? Recuerda que en PSU.cl hay varios ejercicios para que continúes practicando, como este sobre multiplicación de potencias o este relacionado con función cuadrática. Además, puedes reforzar tus conocimientos en matemáticas con la ayuda de estos videos.