Preguntas PSU de Matemáticas: volumen de una pirámide

El calculo de áreas y volúmenes es parte del 26% de los contenidos de esta prueba, pertenecientes a Geometría. Si quieres reforzar esa materia, el siguiente ejercicio del Demre es una buena oportunidad para hacerlo.

El volumen de una pirámide de base cuadrada se calcula con la fórmula V = ⅓ p²h, donde p es la medida del lado de la base y h es la altura de la pirámide. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si cada lado de la base aumenta al doble y la altura de la pirámide disminuye a la mitad, entonces el volumen de esta nueva pirámide sería igual al volumen de la pirámide original.

II) Si cada lado de la base aumenta al cuádruple y la altura de la pirámide permanece constante, entonces el volumen de esta nueva pirámide aumentaría al doble del volumen de la pirámide original.

III) Si cada lado de la base aumenta al doble, no variando el volumen de la pirámide, entonces la altura de esta nueva pirámide habría disminuido a la cuarta parte de la altura de la pirámide original.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

¿Tienes una alternativa? Comprobemos si es la correcta.

Lo primero es calcular el volumen de una pirámide o su altura, considerando lo expuesto en I), II) y III); para luego comparar ese resultado con el volumen o altura de la figura original.

De acuerdo al enunciado tenemos que:

▪ p es la medida del lado de la base de la pirámide.

▪ h es su altura.

▪ V = ⅓ p²h es su volumen.

Según estos datos, en I) se tiene que la base aumenta al doble, o sea, 2p y la altura disminuye a la mitad, es decir, h ÷ 2. Así el volumen de esta nueva pirámide es:

⅓ (2p)² h ÷ 2 = 2 • ⅓ p²h, lo cual corresponde al doble del volumen de la pirámide original, transformando a I) en falsa.

En tanto II), afirma que cada lado de la base aumenta al cuádruple, o sea, 4p y la altura de la pirámide permanece constante, es decir, h. Entonces el volumen de la nueva pirámide es:

⅓ (4p)²h = 16 • ⅓ p²h, lo que es igual a 16 veces el volumen de la pirámide original y convierte a la afirmación en II) en falsa.

Finalmente en III) se expone que cada lado de la base aumenta al doble, o sea, 2p, sin variar el volumen de la pirámide. Si se denomina como Q a la medida de la altura de esta nueva pirámide, al igualar los volúmenes de ambas pirámides obtendremos:

⅓ • 4p²Q = ⅓ p²h, de donde se tiene que Q = h ÷ 4 y que, por lo tanto, Q es la cuarta parte de la altura de la pirámide original. De ese modo, la afirmación en III) es verdadera.

En síntesis, la clave es la opción C).

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