Preguntas complicadas de la PSU de matemáticas: Calcular el volumen de un cuerpo

Según datos del DEMRE, la sección de geometría de la PSU de matemáticas es el eje temático con menor porcentaje medio de respuestas correctas y mayor porcentaje medio de respuestas omitidas.

El volumen es uno de los puntos básicos estudiados en los cuerpos geométricas, y también es uno de los contenidos más ignorados por los estudiantes. Para poder resolver ejercicios donde se pida calcular el volumen de un cuerpo es fundamental conocer las fórmulas de volumen.

Antes de revisar las fórmulas, veremos la definición de volumen. El volumen es una magnitud de los cuerpos tridimensionales que ocupan un cierto espacio. Es decir, toda pregunta que pregunte por "el espacio que ocupe tal cuerpo" se refiere al volumen.

Ahora sí, las fórmulas de los cuerpos geométricos principales son:

• Para cilindros: V = r² · h · π
• Para conos: V = ( π · r² · h ) / 3
• Para cubos: V = a³
• Para esferas: V = 4/3 · π · r³
• Para pirámides: V = ( área base · h ) / 3

En estas fórmulas los datos corresponden a:

• V = volumen
• r = radio
• h = altura
• a = área

Ahora veremos un ejemplo de una pregunta de la PSU donde se tiene que calcular el volumen de un cuerpo:

En una caja cilíndrica caben exactamente tres pelotitas todas de igual radio r, una encima de la otra, como se muestra en la figura 19. El volumen no cubierto por las pelotitas es:

Para resolver esta pregunta es necesario conocer la fórmula del volumen de un cilindro y de una esfera, que son los cuerpos presentes en el problema. Lo que se debe hacer es restar al volumen del cilindro el volumen de las tres esferas.

El radio de la base del cilindro es igual al radio de las esferas. Por otro lado, su altura es seis veces el radio de las esferas, es decir, la h del cilindro es 6r. Así, el volumen del cilindro vendría siendo 6πr³.

El volumen de una esfera es 4/3·πr³, y al ser tres el volumen total es 4πr³. Así, se debe restar al volumen del cilindro el de las tres esferas, obteniéndose el volumen no cubierto.

La respuesta correcta es la B) 2πr².

Esta pregunta fue respondida correctamente solo por el 9% de los alumnos que rindieron la PSU y fue omitida por más del 60%. Pero viendo las fórmulas y la resolución... ¿era tan difícil?

Imagen vía A&M Commerce