Preguntas complicadas de la PSU: Graficar sistemas de inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica que tiene una o más incógnitas. Se diferencia de la ecuación porque, aunque comparten elementos como las incógnitas, la expresión no corresponde a una igualdad, sino que se expresa con los signos >, <, ≤ o ≥.

En los ejercicios de inecuaciones no te encontrarás con una respuesta única, sino que la incógnita puede ser un conjunto de números, llamado intervalo. Existen dos tipos de intervalo:

a. Intervalo abierto: Conjunto de números reales mayores que a y menores que b, es decir ]a,b[, y se grafica:

b. Intervalo cerrado: Conjunto de números reales mayores o igual que a y menores o iguales que b, es decir [a,b], y se grafica:

Como se puede apreciar en los gráficos, en los intervalos abiertos los círculos no tienen relleno mientras que en los cerrados sí. Así también pueden existir intervalos semi-abiertos, en los que por un lado está abierto y por el otro cerrado, denotándose como ]a,b] o [a,b[.

Por otro lado, también hay inecuaciones que por un lado no tienen límite, como ]a, ∞[, que se grafica:

Para resolver las inecuaciones se desarrollan igual como si fuera una ecuación, respetando los axiomas algebraicos de la igualdad, pero se llega obviamente a un resultado diferente y, por ende, que se grafica de otra forma.

Veamos un ejemplo:

x² − 2 ≤ 7

Se puede resolver como una ecuación regular, llegando a: x² ≤ 9, lo que lleva a dos soluciones: x ≤ 3 y x ≤ -3. ¿Por qué? Porque al multiplicar por -1 el símbolo de desigualdad cambia a su opuesto. A partir de estas soluciones se puede decir que la inecuación es ] − ∞, 3] y −3,∞[. Es decir, el conjunto que soluciona esta inecuación debe ser uno que sea mayor o igual que −3 y menor o igual que 3. Esto se grafica como:

De esta forma se desarrollan los ejercicios de inecuaciones (también llamadas desigualdades condicionadas) que se presentan en la PSU de matemática.

Imagen vía Steven S