Preguntas complicadas de la PSU: Parábola de la ecuación

En matemáticas, la parábola es una curva en la que los puntos del plano equidistan de una línea recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco, teniendo un eje de simetría perpendicular a la directriz y un vértice.

La parábola es, además, el gráfico de las funciones cuadráticas, por lo que preguntas de este tipo pueden aparecer en la PSU. No te preocupes, aquí te enseñas a resolver los ejercicios de esta índole.

Este campo de la matemática es muy amplio y varias cosas se ven durante la Enseñanza Media, pero en la PSU se pregunta por ejercicios muy sencillos, requieren simplemente de los conocimientos básicos: un par de fórmulas, la comprensión de los conceptos y, sobre todo, capacidad lógica y de análisis.

Revisemos un ejercicio aparecido en la PSU:

Dada la parábola de la ecuación y = x² - 2x + a, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I) Si a > 1, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje x.

II) Si a = 1, entonces la parábola intersecta en un solo punto al eje x.

III) Si a < 1, entonces la parábola no intersecta al eje x.

Respuesta: Sólo II

Para resolver este ejercicio sólo se debe tener conocimiento de los aspectos básicos de la ecuación cuadrática:

- Concavidad: La concavidad es el "lado abierto" de la parábola, es decir, el lado contrario a donde está el vértice (la curva). Si la parábola de la ecuación y = px² + bx + c tiene p > 0, la concavidad hacia arriba, y si a < p va hacia abajo. En este caso, y = x² - 2x + a tiene que p = 1 (ya que la x no tiene número que la acompañe, es decir es 1x) y 1 > 0, por lo tanto la concavidad va hacia arriba.

- Vértice: Es el punto donde se intersecta la parábola y foco. Sus coordenadas se conocen por la fórmula . En este caso, el índice sería entonces , dando como resultado (1, -1 + a).

A partir de la información que se obtiene a partir de sólo dos datos se puede analizar la pregunta:

I) Si a > 1, entonces (-1 + a) > 0: el vértice está sobre el eje x y como la concavidad es hacia arriba, no intersecta el eje... I es falsa.

II) Si a = 1, al reemplazar el vértice se tiene (1, -1 + 1), es decir (1, 0), por lo que intersecta en un sólo punto a x... II es verdadera.

III) Si a

Así, se puede resolver de manera sencilla ejercicios de este tipo. Sin embargo, es importante tener bien claras las fórmulas señaladas (que es lo mínimo que debe saber un estudiante sobre el tema) y se debe analizar bien el ejercicio.

Imagen vía David Goehring