​Preguntas PSU Matemática: Combinatoria

La Combinatoria es un área de las matemáticas que estudia la existencia de combinaciones y configuraciones, que satisfacen ciertas características establecidas. A continuación, les presento la resolución de un clásico ejercicio de este tipo para la PSU de Matemática.

En una fila de 7 sillas se sientan cuatro mujeres y tres hombres, ¿de cuántas maneras se pueden sentar ordenadamente, si las mujeres deben estar juntas y los hombres también?

A) 2

B) 4 x 3

C) 3! x 4! x 2

D) 3! x 4!

E) 4 x 3 x 2

Para resolver este ejercicio, primero es necesario recordar el símbolo factorial y su interpretación.

El factorial de un número entero positivo (n factorial) es definido como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n, por ejemplo:

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

En el ejercicio, como en una fila de 7 sillas se deben sentar 4 mujeres juntas y tres hombres juntos, existen dos configuraciones en que esto ocurre:

1) Primero se sientan las mujeres y después los hombres. Aquí tenemos que el primer asiento lo puede ocupar cualquiera de las 4 mujeres, el segundo asiento puede ser ocupado por cualquiera de las 3 mujeres restantes, el tercer asiento puede ser ocupado por cualquiera de las 2 mujeres restantes, y para el cuarto asiento, existe solo una mujer que lo puede ocupar. Para el quinto asiento, existen 3 posibles hombres que lo pueden usar, el sexto asiento puede ser ocupado por cualquiera de los 2 hombres restantes, mientras que el séptimo asiento, puede ser usado solo por el último hombre de pie.

Podemos escribir esto en notación matemática de la siguiente forma: 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 y en notación factorial esto es: 4! x 3!

2) El segundo caso consiste en que se sienten primero los hombres y luego las mujeres. Realizando el mismo análisis anterior, podemos ver que en este caso las combinaciones posibles son: 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1, que en notación factorial es: 3! x 4!

De 1) y 2) podemos concluir que existen 2 x 3! x 4! Maneras distintas en que pueden sentarse todas las mujeres juntas y todos los hombres juntos. Por lo tanto, la respuesta correcta es la letra C)

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Imagen CC Theen Moy